Jaka U - MTTF

MTTF, FAILRATE, RELIABILITY AND LIFE TESTING

by Bob Seymour

Pada Burr-Brown, kita mencirikan dan memenuhi syarat keandalan perangkat kami melalui suhu tinggi pengujian hidup. Hasil pengujian ini diukur dengan nilai-nilai seperti MTTF dan tingkat kegagalan. Informasi ini dapat sangat berharga bila digunakan untuk tujuan perbandingan atau diterapkan untuk perhitungan reliabilitas. Namun, informasi ini kehilangan nilainya jika tidak tepat dipahami dan tepat digunakan. Ini adalah maksud dari catatan aplikasi ini untuk membawa bersama-sama, dalam format ringkas, definisi, ide, dan pembenaran di balik konsep reliabilitas ini untuk memberikan latar belakang detail yang diperlukan untuk pemanfaatan penuh dan benar dari hasil pengujian hidup kita.

BEBERAPA DEFINISI AWAL

Keandalan adalah "probabilitas bahwa bagian akan berlangsung setidaknya waktu tertentu di bawah kondisi percobaan yang ditentukan" (1).

MTTR adalah mean waktu untuk kegagalan pertama di bawah kondisi percobaan yang ditentukan. Hal ini dihitung dengan membagi jumlah total perangkat • jam dengan jumlah kegagalan. Hal ini penting untuk dicatat, pada saat ini, bahwa dimensi MTTF tidak jam per kegagalan, melainkan, perangkat • jam per kegagalan. Jika setiap bagian memiliki kesempatan 0,1% dari kegagalan sebelum 1 jam kemudian 10 bagian memiliki 1% kesempatan mengalami kegagalan pada saat itu. MTTF akan sama dalam kedua kasus. 1 kegagalan dalam 10 jam pada 1 bagian atau 1 kegagalan dalam 1 jam pada 10 bagian kedua menghasilkan MTTF dari 10 perangkat • jam.

tingkat kegagalan adalah probabilitas bersyarat bahwa perangkat akan gagal per unit waktu. Probabilitas bersyarat adalah probabilitas bahwa perangkat akan gagal selama interval tertentu mengingat bahwa itu selamat pada awal interval. (5) Ketika tingkat kegagalan digunakan untuk menggambarkan frekuensi yang kegagalan diharapkan terjadi, unit waktu yang biasanya perangkat • jam.

FITS hanya tingkat kegagalan skala dari kegagalan per perangkat • jam untuk kegagalan per miliar perangkat • jam.

Dalam definisi bagian MTTF didefinisikan sebagai waktu rata-rata, di perangkat • jam, per kegagalan diamati di bawah kondisi percobaan tertentu seperti tes hidup. Di sini, di BurrBrown kita menggunakan rumus yang sedikit dimodifikasi untuk MTTF. Kami menghitung 2 kali total perangkat • jam, TDH, dibagi dengan 60% batas atas confidence dari distribusi chi-kuadrat dengan 2 kali jumlah diamati dari kegagalan + 2 derajat kebebasan, X2 (2 f + 2). rumus kita adalah

2T dh

MTTF = χ2 (2 f + 2)

Karena waktu dan kegagalan yang dua kali lipat, definisi ini kira-kira setara. Beberapa penjelasan adalah dalam rangka.

Jika beberapa tes hidup dijalankan pada jenis yang sama dari perangkat, tidak mungkin bahwa semua tes akan memiliki jumlah yang sama dari kegagalan untuk jumlah yang sama dari perangkat • jam. Sebaliknya akan ada distribusi kegagalan. Nilai minimum harus 0 tanpa kegagalan. Nilai maksimum bisa sesuai dengan 100% kegagalan, tetapi kita bisa menganggap bahwa kita menjalankan bagian cukup bahwa ini tidak akan terjadi. Sebaliknya distribusi akan lancip off sebagai jumlah kegagalan meningkat. Suatu tempat di antara akan ada konsentrasi kegagalan.

Perhitungan chi-square memberikan kita alat untuk menyesuaikan jumlah sebenarnya kegagalan dari tes hidup yang terbatas untuk membuatnya lebih akurat mencerminkan apa yang kita harapkan dari populasi secara keseluruhan. Misalnya, menerapkan tingkat kepercayaan 60% untuk distribusi chi-square dengan 8 derajat kebebasan akan mengembalikan nilai ke dalam penyebut dari perhitungan MTTF yang lebih besar dari atau sama dengan 60% dari nilai-nilai dalam distribusi chi-kuadrat dengan rata-rata 8.

Salah satu interpretasi intuitif perhitungan chi-square adalah bahwa nilai yang dihitung mewakili, kasar, sejumlah kegagalan yang akan lebih besar dari 60% dari kegagalan kita mungkin mendapatkan selama beberapa tes hidup. Tingkat atas 60% dipilih karena mewakili perkiraan sekitar rata-rata untuk MTTF dan karena itu diterima secara luas di antara produsen semikonduktor dan pengguna. Metode ini memperkirakan MTTF tidak mencegah perhitungan reliabilitas lebih lanjut dari yang dibuat di tingkat yang lebih konservatif.

Satu hal lagi yang masih harus dijelaskan mengenai perhitungan ini. Mengapa kita menggunakan 2 (# kegagalan) 2? Penjelasan teknis untuk ini diberikan kemudian dalam makalah ini. Secara singkat, faktor 2 diperlukan untuk mencapai validitas teoritis dari distribusi X2. Mengingat faktor 2, dapat dilihat bahwa kita hanya menambahkan 1 kegagalan untuk jumlah sebenarnya kegagalan. Kegagalan menambahkan muncul dalam perhitungan seakan kegagalan terjadi pada akhir tes. Hal ini menjamin bahwa tes berakhir dengan kegagalan, juga persyaratan teoritis, serta memungkinkan perhitungan MTTF bahkan jika tidak ada kegagalan yang diamati.

Nilai MTTF dengan sendirinya benar-benar hanya berfungsi untuk tujuan perbandingan. Banyak faktor yang lebih perlu dipertimbangkan sebelum laporan prediksi mengenai umur panjang komponen kami dapat dibuat. Konsep statistik keandalan dan kegagalan memungkinkan kita untuk membuat prediksi seperti, Saya akan hadir di sini, dengan justifikasi belum datang, rumus statistik yang mengukur konsep-konsep ini.

Mari kehandalan diwakili oleh R (t) dan tingkat kegagalan oleh Z (t).

Kemudian R (t) = e-αtβ dan Z (t)

=αβt^β–1

Ingat, keandalan adalah probabilitas bahwa bagian akan berfungsi setidaknya waktu tertentu. tingkat kegagalan menggambarkan frekuensi yang kegagalan dapat diharapkan terjadi. Dengan memeriksa tingkat kegagalan kita dapat membuat pernyataan penting tentang siklus hidup produk.

Siklus hidup bagian dapat dianggap sebagai memiliki tiga periode yang berbeda: kematian bayi, masa manfaat, dan memakai-out. Ketiga periode ditandai matematis oleh tingkat penurunan kegagalan, tingkat kegagalan yang konstan, dan peningkatan tingkat kegagalan. Teori ini adalah dasar dari "kurva bak" ubiquitously dibahas.

formula yang terdaftar dapat model ketiga fase ini dengan pilihan yang tepat dari α dan β. β mempengaruhi bentuk distribusi tingkat kegagalan dan kehandalan. Ketika β <1 Z (t) menjadi fungsi yang menurun. β = 1 menyediakan tingkat kegagalan konstan. Peningkatan tingkat kegagalan dapat dimodelkan dengan β> 1. Oleh karena itu, β dapat dipilih untuk secara akurat model bentuk tingkat kegagalan secara empiris diketahui (atau dari fungsi kepadatan probabilitas asli T yang mendefinisikan tingkat kegagalan). The α konstan memberikan faktor skala.

Mengingat desain yang baik, debugging, dan pengujian menyeluruh dari produk masa kematian bayi hidup bagian ini harus masa lalu pada saat bagian-bagian yang dikirimkan. Hal ini memungkinkan kita untuk membuat asumsi bahwa sebagian besar kegagalan lapangan terjadi selama fase masa manfaat, dan hasil, bukan dari cacat sistematis,

melainkan dari penyebab acak yang memiliki tingkat kegagalan yang konstan. Konstanta tingkat kegagalan anggapan menghasilkan β = 1.

Demikian

Z (t) = α

Konsep tingkat kegagalan konstan mengatakan bahwa kegagalan dapat diharapkan terjadi pada interval waktu yang sama. Dengan kondisi tersebut, rata-rata waktu untuk kegagalan pertama, waktu yang berarti antara kegagalan, dan waktu hidup rata-rata semua sama. Dengan demikian, tingkat kegagalan kegagalan per perangkat • jam, hanya kebalikan dari jumlah perangkat • jam per kegagalan.

Itu adalah

Z (t) = α≈1 / MTTF

selama kondisi tingkat kegagalan konstan.

Perhatikan bahwa MTTF selalu jumlah perangkat • jam per gagal tetapi tidak tingkat kegagalan atau α selalu 1 / MTTF.

Derivasi FORMAL dan pembenaran

OK, saatnya untuk beberapa rincian nyata. Hampir semua informasi tentang distribusi Weibull berasal dari "Probabilitas dan Statistik untuk Insinyur dan ilmuwan" oleh Ronald E. Walpole dan Raymond H. Myers, hak cipta 1985, Macmillan Publishing Company. Banyak informasi pada bagian MTTF diekstrapolasi dari kuliah Dr Duane Dietrich, profesor Sistem dan Teknik Industri di Universitas Arizona. Saya minta maaf untuk Dr. Dietrich untuk setiap distorsi.

Mari kita mulai dengan hipotetis menjalankan tes hidup besar cukup lama untuk mengarahkan semua perangkat kegagalan, waktu perekaman-kegagalan untuk setiap bagian, menghasilkan histogram, menghitung MTTF, dll histogram dari waktu-ke-kegagalan akan berguna. Bentuknya tidak diketahui dan tidak penting saat ini. Mengingat sifat hipotetis percobaan, kita dapat menganggap bahwa distribusi merupakan perwakilan dari seluruh penduduk.

Dari distribusi ini, kita bisa menggambarkan keandalan

R (t) = P (T> t)

di mana T mewakili waktu-ke-kegagalan dan t mewakili waktu. Catatan bahwa ini hanyalah sebuah penyajian yang tepat dari definisi lisan sudah disampaikan.

fungsi lain yang berguna yang dapat diturunkan dari histogram timeto-kegagalan akan mewakili probabilitas kumulatif kegagalan setiap saat t. Mari F (t) merupakan fungsi ini.

Kemudian

F (t) = P (T <t)

atau

F (t) = 1 - R (t)

Sekarang kita diposisikan untuk memeriksa tingkat kegagalan. tingkat kegagalan adalah probabilitas bersyarat bahwa perangkat akan gagal selama interval tertentu, mengingat bahwa itu bertahan sampai awal interval itu, per unit waktu. Mari Z (t) mewakili tingkat kegagalan.

Kemudian

lim          F(t +δt) – F(t)

Z(t) =

δt → 0    R(t)δt

Sekarang diketahui bahwa

lim          F(t +δt)– F(t)

δt → 0    δt

adalah turunan dari F (t). Juga F (t) = 1 - R (t). Oleh karena itu, dF (t) / dt = -dt) / dt. Demikian

dF(t)

Z(t) = R(t)dt –dR(t) =

R(t)dt =   –d[ln R(t)]          dt

Mengintegrasikan kedua sisi hasil di

ln R(t) = –∫ Z(t)dt +ln c

  

Memberi

R (t) = c e -∫ Z (t) dt

sebagai hubungan antara keandalan dan tingkat kegagalan hanya didasarkan pada definisi asli. Konstanta, c, harus memenuhi kondisi awal bahwa semua bagian diasumsikan fungsional pada saat t = 0 atau R (0) = 1.

Distribusi statistik diperkenalkan oleh Waloddi Weibull pada tahun 1939 menyediakan mekanisme untuk membuat fungsi keandalan kami dapat digunakan. Untuk x> 0 distribusi diberikan oleh

f(x) =αβxβ–1e–axβ

di mana α> 0 dan β> 0.

Mari kita menganggap bahwa distribusi probabilitas asli T (time-to-kegagalan) adalah describable menggunakan distribusi Weibull. Kemudian

t

^{β–1 –αx}β

R(t) =1– F(t) =1– ∫αβx    e              dx

o                       

t

R(t) =1+∫de^{–αx β}

o                       

R(t) = e^–αtβ(see appendix A) and

–dR(t) αβtβ–1e–αtβ

Z(t) =    =           ^αt _β

R(t)dt      e^–

Z(t) =αβt^β–1

Dengan demikian, distribusi Weibull memberikan deskripsi matematis yang dapat digunakan keandalan dan kegagalan tingkat: = e- αtβ R (t)

Z (t) = αβtβ-1

Tapi apakah ini setuju dengan formula kami berasal ketat tanpa menganggap distribusi Weibull? definisi Z (t) dapat dimasukkan ke dalam derivasi kami sebelumnya untuk membenarkan asumsi kita.

R(t) = c e– ∫ Z(t)dt

–∫αβtβ–1dt

R(t) =   c e

R(t) = c e–αtβ

Untuk R (0) = 1 maka c = 1 dan

R(t) = e –αtβ

seperti sebelumnya. Dengan demikian, distribusi Weibull cocok definisi asli kami, memberikan solusi untuk persamaan asli, dan menghasilkan formula yang berguna untuk keandalan dan tingkat kegagalan.

Lebih lanjut tentang tingkat kegagalan konstan dan MTTF.

Kami menganggap kondisi kegagalan konstan selama evaluasi uji hidup kita. Hal ini sangat penting untuk memahami kondisi ini dengan baik. Apa kondisi kegagalan konstan? Bagaimana mereka mempengaruhi persamaan Weibull? Dan apa, tepatnya, adalah

MTTF?

Selama periode masa manfaat dari bagian kami, tidak ada cacat yang sistematis atau masalah yang menyebabkan tingkat kegagalan awal yang tinggi atau tingkat peningkatan kegagalan terkait dengan penuaan. Kegagalan selama periode ini hasil dari penyebab acak. Probabilitas bagian gagal untuk cacat acak atau stres tidak berubah sebagai bagian usia. Tingkat kegagalan, probabilitas bersyarat yang bagian akan gagal pada waktu tertentu, T, mengingat bahwa ia telah selamat untuk saat itu, adalah konstan.

Dari distribusi Weibull, persamaan umum untuk tingkat kegagalan diberikan oleh

Z(t) =αβt ^β–1

Mengingat bahwa Z (t) harus sama konstan maka b harus sama 1 untuk mendorong variabel waktu t untuk persatuan. Dengan demikian, dalam kondisi tingkat kegagalan yang konstan, persamaan untuk tingkat kegagalan, keandalan dan distribusi Weibull, menjadi, masing-masing

Z(t) =α

R(t) = e^–αt

dan

f(t) =αe^–αt

Fungsi f (t) adalah fungsi kepadatan probabilitas waktu-ke-kegagalan. Ini memberikan probabilitas bahwa bagian akan gagal pada waktu tertentu t. Mean, atau nilai yang diharapkan, dari f (t) adalah kegagalan waktu-ke-rata. Nilai rata-rata ini sama dengan 1 / α. Masalahnya adalah bahwa kita tidak tahu nilai sebenarnya dari 1 / α. Nilai ini harus diestimasi dari data eksperimen.

Sebuah estimator untuk 1 / α dapat diturunkan dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum dengan fungsi f (t). Misalkan kita menjalankan tes hidup dimulai dengan N bagian dan kegagalan pengalaman r. Fungsi kepadatan probabilitas gabungan menggambarkan hasil tes hidup diberikan oleh produk dari probabilitas yang terjadi setiap kegagalan ketika itu. Mengacu p.d.f. ini sebagai L

(Α, t) kemudian

r

–α∑t _i L(α,t) =α^r e         ⁱ⁼¹

Tersirat dalam derivasi ini adalah bahwa tes hidup diakhiri pada kegagalan r dan dimensi t adalah perangkat • jam. Metode kami mengevaluasi MTTF melibatkan penambahan 1 kegagalan ke kegagalan diamati. Hal ini menjamin persyaratan untuk terminasi kegagalan r puas serta memungkinkan perhitungan MTTF bahkan jika tidak ada kegagalan yang sebenarnya terjadi. Dimensioning dari t sebagai perangkat • jam menyumbang waktu uji bagian-bagian yang tidak gagal.

Untuk menemukan estimator yang sesuai untuk 1 / α dengan metode kemungkinan maksimum, kita menemukan nilai α yang memaksimalkan fungsi L (α, t). Kami adalah, pada dasarnya, menemukan nilai α yang memaksimalkan probabilitas mengamati apa yang sebenarnya diamati. Hal ini dilakukan dengan mengambil derivatif parsial dari loge L (α, t), pengaturan sama dengan nol, dan pemecahan untuk α: r

ln (L(α,t)) = rln (α) – α∑t_i

      i=1

∂l n (L(α,t))          r               ^r

= – t ∂α α ∑=1   i         i

r r

–              t = 0

α˜   ^∑i =1                      i

menggunakan α~ untuk menunjukkan pendekatan ini,r

 t_i

Persamaan ini menunjukkan bahwa 1 / α dapat diperkirakan dengan membagi waktu tes akumulasi untuk semua perangkat yang diuji dengan jumlah total kegagalan. Ini sesuai dengan definisi asli dari MTTR.

Memahami chi-square, X2, kepercayaan perhitungan selang membutuhkan pengakuan bahwa mengingat variabel acak untuk waktu-ke-kegagalan, T, memiliki distribusi

f (t) = αe-αt

maka variabel acak V dijelaskan oleh

r

V = 2α∑t_i

i=1

didistribusikan X2 dengan derajat 2r kebebasan, X2 (2r). Oleh karena itu, untuk tingkat kepercayaan ç ditentukan

r

2α∑t_i > X²(2r,ζ)

i=1

dan batas atas confidence untuk MTTF menjadi

r

2∑t_i

  MTTF

yang, dengan r sama dengan jumlah kegagalan diamati + 1, adalah rumus yang sebenarnya kita gunakan untuk MTTF.

Untuk membenarkan distribusi X2 variabel V acak yang digunakan di atas, menerapkan transformasi variabel

V/ = 2αT, dVdT/ = 2 1α

to f(t) which results in

VV

–α                             – f(v) =αe              ^2αe           ²

yang didistribusikan X2 dengan 2 derajat kebebasan, X2 (2) (lihat Lampiran B).
Sekarang diketahui bahwa

r

2α∑t_i = 2αt₁ + 2αt₂ +...+2αt_r

i=1

Seperti ditunjukkan, setiap faktor dari jumlah di atas didistribusikan X2 (2). Oleh karena itu, dengan properti reproduksi X2 penjumlahan tersebut juga didistribusikan X2 dengan waktu r 2 derajat kebebasan, X2 (2 r) seperti yang dinyatakan.

DAN AKHIRNYA

Konsep MTTF, tingkat kegagalan dan kehandalan telah ditetapkan, dibahas dan dibenarkan. Secara umum, unit saat perangkat • jam telah digunakan. Dengan dimensi ini, tingkat kegagalan dapat diartikan sebagai frekuensi yang kegagalan dapat diharapkan terjadi. Deskripsi ini bekerja dengan baik dengan estimasi eksperimental dari parameter yang tidak diketahui dan

memberikan perspektif intuitif. Namun, estimasi reliabilitas adalah, pada dasarnya, ilmu probabilistik dan persamaan Weibull, pada dasarnya, persamaan probabilitas. Sebagai persamaan probabilitas, tingkat kegagalan menjadi peluang kegagalan per jam, bukan per perangkat • jam. Pembaca didorong untuk memberikan perbedaan ini beberapa pemikiran.

Kami melakukan pengujian hidup kita pada suhu yang tinggi guna mempercepat mekanisme kegagalan yang mungkin mengakibatkan kegagalan perangkat. laporan kehandalan kami umumnya menyediakan perkiraan MTTF skala pada rentang suhu yang tepat untuk lingkungan aplikasi. Persamaan Arrhenius dengan energi aktivasi yang dipilih untuk mewakili mekanisme kegagalan khas digunakan untuk menghasilkan tabel.

Di sini, di Burr-Brown kita menggunakan program spreadsheet untuk menghitung dan mencatat hasil tes hidup. tingkat kegagalan konstan dianggap. Anggapan ini harus selalu diverifikasi. Ini mungkin tidak masuk akal untuk menafsirkan MTTF sebagai waktu yang berarti untuk kegagalan pertama bahkan jika tingkat kegagalan tidak konstan. Namun, tingkat kegagalan dan keandalan prediksi berdasarkan MTTF yang akan salah.

APPENDIX A dexp (–αx^β) / dx   = exp (–αx^β) d(–αx^β) / dx

= exp (–αx^β)(–αβ)(x^β–1)

= –αβx^β–1 exp ( – αx^β)

Oleh karena itu menggantikan

– / dx dx

t

= –dexp (–αx^β )

0

and        

R(t)

= 1+ exp(–αx^β ) | ^t

0

=1+exp(–αt^β) –1

APPENDIX B

Distribusi chi-square dengan derajat r kebebasan diberikan oleh

r                       v

f(v) = 

 2

Pengaturan r = 2 X 2 (2) hasil di

v v

 2

seperti yang ditunjukkan.

REFERENSI

(1) Walpole, Ronald E., dan Myers, Raymond H., "Probabilitas dan Statistik untuk Insinyur dan ilmuwan," Macmillan Publishing Company, 1985.

(2) Box, Hunter, dan Hunter, "Statistik untuk peneliti yang," John Wiley & Sons, Inc., 1978.

(3) Besterfield, Dale H., "Quality Control", Prentice-Hall, 1986.

(4) Kececioglu, P.E., Dr. Dimitri, "Keandalan Prinsip Teknik dan Manfaat dengan Aplikasi," catatan kuliah dari Dr. Dimitri Kececioglu, P.E .; Tahun 1981.

(5) Lawless, J.F., "Model dan Metode Data Lifetime statistik," John Wiley & Sons, Inc., 1982.

Informasi yang tersedia diyakini dapat diandalkan; Namun, BURR-BROWN tidak bertanggung jawab atas ketidaktepatan atau kesalahan. BURR-BROWN tidak bertanggung jawab atas penggunaan informasi ini, dan semua penggunaan informasi tersebut harus sepenuhnya risiko sendiri pengguna. Harga dan spesifikasi dapat berubah tanpa pemberitahuan. Tidak ada hak paten atau lisensi ke salah satu sirkuit yang dijelaskan di sini secara tersirat atau diberikan kepada pihak ketiga. BURR-BROWN tidak mengizinkan atau menjamin produk BURR-BROWN untuk digunakan dalam perangkat pendukung kehidupan dan / atau sistem.