Metode Advanced First Order Second
Moment (AFOSM) yang
dikembangkan berdasarkan interpretasi geometri atas fungsi kinerja FK(X) yang
linier. Pada laporan ini akan dihitung peluang
keandalan dan kegagalan dari struktur tiang baja bujur sangkar dengan
menggunakan metode Advanced First Order
Second Moment (AFOSM).
Sejumlah asumsi sengaja diberikan untuk mempermudah perhitungan. Sebelum dilakukan perhitungan, ditentukan terlebih dahulu basic variables yang digunakan serta parameter-parameter statistik yang mempengaruhi variabel-variabel tersebut. Setelah indeks keandalan dihitung dengan menggunakan kedua metode tersebut, selanjutnya akan dianalisa, dibandingkan untuk kemudian disimpulkan.
Sejumlah asumsi sengaja diberikan untuk mempermudah perhitungan. Sebelum dilakukan perhitungan, ditentukan terlebih dahulu basic variables yang digunakan serta parameter-parameter statistik yang mempengaruhi variabel-variabel tersebut. Setelah indeks keandalan dihitung dengan menggunakan kedua metode tersebut, selanjutnya akan dianalisa, dibandingkan untuk kemudian disimpulkan.
Bagian ini juga menjelaskan
pemodelan sistem dengan model Monte Carlo. Pemodelan ini berkaitan dengan model
probabilistic suatu event atau kejadianberdasarkan history atau sejarah
kejadian yang telah terjadi (recorded data). Metode Monte Carlo merupakan dasar untuk
semua algoritma dari metodesimulasi yang didasari pada pemikiran penyelesaian
suatu masalah untuk mendapatkan hasil yang lebih baik dengan cara memberi nilai
sebanyak-banyaknya (nilai bangkitan/Generated Random Number) untuk
mendapatkan ketelitian yang lebih tinggi. Metode ini menganut system
pemrograman yangbebas tanpa telalu banyak diikat oleh rule atau aturan
tertentu.Metode Monte Carlo merupakan dasar untuk semua algoritma dari metode
simulasi yang didasari pada pemikiran penyelesaian suatu masalah untuk
mendapatkan hasil yang lebih baik dengan cara memberi nilai sebanyak-banyaknya
(nilai bangkitan/Generated Random Number) untuk mendapatkan ketelitian
yang lebih tinggi. Metode ini menganut system pemrograman yang bebas tanpa
telalu banyak diikat oleh rule atau aturan tertentu.
Permasalahan
yang akan dibahas dan diselesaikan dalam laporan ini adalah:
- Seperti apakah persamaan moda kegagalannya?
- Apa sajakah basic variables yang digunakan dalam perhitungan indeks keandalan struktur rangka batang (truss)tersebut?
- Apa sajakah random variable yang digunakan dari variabel yang telah dipilih di atas?
- Berapakah indeks keandalan struktur monopod dengan menggunakan metode Advanced First Order Second Moment (AFOSM)?
5.
Bagaimana konsep dasar metode Monte Carlo dalam
memformulasikan masalah ?
Tujuan
dari laporan ini adalah:
- Untuk mengetahui seperti apakah persamaan moda kegagalan.
- Untuk mengetahui basic variables apa saja yang digunakan dalam perhitungan indeks keandalan struktur tandon tersebut.
- Untuk mengetahui random variables apa saja yang digunakan dari variabel yang telah telah dipilih di atas.
- Untuk mengetahui berapakah indeks keandalan struktur dengan menggunakan metode Advanced First Order Second Moment (AFOSM).
- Mengetahui berapakah indeks keandalan struktur dengan menggunakan metode Monte Carlo.
Batasan masalah
yang digunakan dalam pengerjaan laporan ini adalah diketahui bahwa ukuran baja
bungkur sangkar ini adalah struktur rangka panjang sebesar 2 m dengan tebal 1.
Manfaat yang dapat diperoleh dalam pengerjaan laporan ini adalah untuk membandingkan
nilai keandalan dengan menggunakan aplikasi dari metode Advanced First Order Second Moment (AFOSM) dan Monte Carlo dalam
struktur, dalam hal ini adalah tiang baja bujur sangkar.
Sistematika penulisan laporan ini
dimulai dengan bab satu yang berisi pendahuluan yang menjelaskan tentang latar
belakang penelitian yang akan dilakukan, perumusan masalah, tujuan yang hendak
dicapai dalam tugas akhir ini, manfaat yang diperoleh, batasan masalah dan
sistematika penulisan laporan.
Dasar
teori yang menjadi sumber referensi dalam laporan ini dibahas dalam bab dua.
Secara rinci bab dua ini berisikan dasar-dasar teori, rumus-rumus dan code yang
digunakan dalam penelitian tugas akhir.
Bab tiga pada penulisan laporan
tugas akhir ini menjelaskan metodologi penelitian yang digunakan untuk
mengerjakan tugas akhir. Penjelasan tentang langkah-langkah yang ada dan
data-data yang digunakan dalam penelitian.
Analisa penelitian dalam tugas akhir
ini akan dibahas dan diterangkan pada bab empat. Bab ini akan membahas
pengolahan data hasil dari perhitungan hingga menghasilkan kesimpulan yang
menjadi tujuan dari tugas akhir. Dimana kesimpulan beserta saran yang
diperlukan untuk penelitian lebih lanjut dari tugas akhir akan diterangkan pada
bab lima.
BAB II
2.1 Analisa
Keandalan.
Keandalan sebuah komponen atau sistem adalah peluang komponen atau sistem
tersebut untuk memenuhi tugas yang telah ditetapkan tanpa mengalami kegagalan selama kurun waktu
tertentu apabila dioperasikan dengan benar dalam lingkungan tertentu (Rosyid
dan Mukhtasor, 2007). Dalam konsep keandalan, suatu masalah akan didefinisikan
dalam hubungan permintaan dan penyediaan, yang keduanya merupakan
variabel-variabel acak. Peluang
terjadinya kegagalan suatu
rancangan, dimana penyediaan
(ketahanan atau kekuatan sistem)
tidak dapat memenuhi permintaan (beban yang bekerja pada sistem) (Ang dan Tang
1985).
Pemakaian konsep analisa keandalan yang didasarkan pada metode
probabilistik telah berkembang dan semakin
penting peranannya terutama
untuk memecahkan masalah-masalah dalam perancangan praktis
(Baker dan Wyatt 1979). Kecenderungan ini salah satunya dikarenakan adanya
kerusakan yang terjadi pada sistem rekayasa yang disebabkan oleh intraksi
panas, beban statis maupun beban dinamis dapat dijelaskan secara lebih baik
dengan konsep ini.
Dalam konsep ini perancang dapat menggambarkan suatu sistem dengan segala
hal yang mempengaruhi atau mengakibatkan
kerusakan pada sistem
tersebut misalnya kondisi pembebanan, ketahanan struktur,
kondisi lingkungan yang lebih mendekati keadaan yang sebenarnya karena
melibatkan aspek ketidakpastian dalam
analisanya. Dalam analisa keandalan sistem struktural maka
perlu untuk mendefinisikan ketidakpastian yang diterima oleh struktur. Cristenson dan Yoshida Murotshu (1985) membagi ketidakpastian dalam
3 kelompok yaitu :
1) Ketidakpastian fisik, adalah ketidakpastian yang berhubungan dengan
keragaman(variability) fisik seperti : beban, sifat material, dan ukuran
material. Keragaman fisik ini hanya bisa dinyatakan dalam
data sampel, dengan pertimbangan praktis dan ekonomis.
2) Ketidakpastian statistical,
adalah ketidakpastian yang
berhubungan dengan data yang
dibuat untuk membuat
model secara probabilistik
dari berbagai macam keragaman fisik diatas.
3) Ketidakpastian model, yaitu ketidakpastian
yang berhubungan dengan tanggapan dari jenis struktur yang dimodelkan secara
matematis dalam bentuk deterministik atau
probabilistik.
Ketidakpastian yang terjadi
disini merupakan hasil
dari penyederhanaan dengan memakai bermacam-macam asumsi, kondisi batas
yang tidak diketahui, dan sebagai hasil dari pengaruh interaksi ketidakpastian
yang tidak tercakup dalam model.
Dalam
perancangan struktur bangunan lepas pantai akan banyak dijumpai ketidakpastian
yang mempengaruhi sistem bangunan diantaranya :
1) Ketidakpastian pada beban yang disebabkan
gelombang laut yang selalu berubah- ubah.
2) Ketidakpastian pada sifat material seperti
tegangan luluh (yield strenght). Kekuatan lelah (fatigue
strengh), kekasaran takik
(notch toughness) dan
tingkat korosi (corrosion rate)
.
3) Ketidakpastian dalam
menganalisa bangunan yaitu
dalam analisa respon
atau analisa keadaan batas.
Dalam analisa tersebut
pasti akan melibatkan
beberapa asumsi, pendekatan ataupun idealisasi model matematis dari
lingkungan fisik dan tanggapan bangunan terhadap lingkungan tersebut.
Adanya beberapa keragaman
pada kualitas bangunan
yang berhubungan dengan pengawasan pekerjaan di lapangan
seperti operasi pengangkatan pipa, penggantian pipa, dan sebagainya yang disebabkan
oleh kesalahan manusia. Faktor ini mempunyai pengaruh yang sangat penting pada
kekuatan bangunan.
Metode
analisa keandalan yang ada hingga saat ini adalah:
1. Metode Analisa Keandalan Level – 0
Dalam metode ini tingkat keandalan struktur dinyatakan berdasarkan pada
struktur elemen dasar dengan menggunakan faktor keamanan parsial atau koefisien parsial, yang berhubungan dengan
karakteristik awal dari perubahan beban dan struktur utama. Metode level – 0
ini pada dasarnya bukan merupakan metode analisa keandalan, tetapi metode untuk
perancangan atau pemeriksaan keamanan struktur.
2. Metode Analisa Keandalan Level – 2
Metode ini menggunakan
prosedur pendekatan iterasi
untuk memperkirakan
probabilitas kegagalan dari
suatu struktur atau
sub-struktur. Biasanya memerlukan idealisasi jenis keruntuhan dan
dilakukan dengan menyederhanakan perubah-perubah distribusi probabilitas
gabungan.
Metode ini memiliki
sebuah sebuah titik
tunggal sebagai pengecekan
pada bidang kegagalan (failure surface).
Bidang kegagalan adalah
sekumpulan perubah dasar
X = (X1,X2,…….,Xn) yang bisa
didefinisikan dan dinyatakan dalam perubah dasar n dimensi ω (n- dimensional basic variabel space ω ).
Bidang kegagalan adalah
bidang yang membagi ruang perubah acak menjadi 2 daerah yaitu sebuah daerah
kegagalan (failure region ωt) dan
sebuah daerah aman (safe region ωs). Bidang kegagalan secara matematis bisa dinyatakan
dengan persamaan bentuk :
Harga positif dari persamaan diatas
menunjukkan sejumlah perubah dasar yang aman (daerah aman) dan harga yang tidak
positif menunjukkan himpunan perubah pada daerah yang tidak aman (daerah
kegagalan).
Sistem dari keandalan
pada dasarnya dapat
ditunjukkan sebagai problematika
antara Demand (tuntutan atau beban) dan Capacity (kapasitas
atau kekuatan). Secara tradisional didasarkan atas safety factor (angka
keamanan) yang diperkenankan. Ukuran konvensional untuk angka keamanan adalah
perbandingan antara asumsi nilai nominal kapasitas, X*, dan beban, Y*, yang
dirumuskan sebagai berikut:
Mengingat nilai nominal dari kapasitas, X* dan beban, Y* tidak dapat
ditentukan dengan pasti, fungsi-fungsi kapasitas dan beban perlu dinyatakan
sebagai peluang sebagimana ditunjukkan pada Gambar 3.2. Dengan demikian, angka
keamanan dinyatakan dengan perbandingan Z
=X/Y dari dua variabel acak X dan Y.
Gambar 2.2. Fungsi Kerapatan Peluang (fkp) dari Kapasitas X dan Tuntutan Y
(Rosyid,2007)
Ketidakmampuan
suatu sistem untuk memenuhi tuntutan dan tugasnya, yang diukur dengan peluang
kegagalan, dapat dihubungkan dengan bagian dari distribusi angka keamanan yang
nilainya kurang dari satu, yaitu porsi dalam dimana Z = X/Y ≤ 1
(lihat Gambar 3.3). Peluang kegagalan sistem, Pf diberikan dengan
persamaan:
Dimana FZ
adalah fungsi distribusi kumulatif dari Z. Dengan pernyataan lain, peluang
sistem untuk tidak gagal (keandalan) adalah :
Ketika
distribusi peluang bersama (joint probability distribution) dan X dan Y
diketahui, keandalan sebuah sistem dapat dihitung berdasarkan fungsi distribusi
kumulatif dari X / Y. Peluang kegagalan nol ( ) dan keandalan 100 (K=1) hanya
terjadi ketika tuntutan maksimum Ymax tidak melewati kapasitas minimum Xmin,
sehingga kedua distribusi tidak saling overlap.
Gambar 2.3. Fungsi Distribusi Kumulatif dan Fungsi Kerapatan Peluang pada
Angka Keamanan Z = X/Y (Rosyid, 2007)
Jika demand maksimum Ymax melampaui kapasitas maksimum Xmin,
distribusi keduaduanya akan mengalami overlap dan probabilitas kegagalan
tidak lagi bernilai nol. Untuk menilai probabilitas, dapat diambil perbedaan
diantara kapasitas dan beban, yang biasanya disebut dengan margin keamanan atau
safety margin, S :
Oleh karena nilai X dan Y adalah acak, margin keamanan juga merupakan
perubah acak. Ketidakmampuan suatu sistem untuk memenuhi tuntutannnya, yang
diukur dengan peluang kegagalan Pf , dapat diperkirakan menggunakan
fungsi kerapatan peluang dari margin keselamatan, yaitu pada bagian dimana S
bernilai negatif, atauS = X − Y ≤ 0. Sehingga dapat
dituliskan :
Dan
sebaliknya, keandalannya adalah
2.1.5. Indeks
Keandalan
Cara untuk mengukur keandalan adalah dengan cara menggunakan indeks
keandalan β , yang didefinisikan sebagai
perbandingan antara nilai rata-rata dan nilai simpangan baku dari margin
keselamatan, S, yaitu:
Jika menggunakan nilai kristis margin keselamatan, S = 0, dan jaraknya dengan
nilai rata-rata margin keamanan μs, maka
indeks keandalan ini dapat diinterprestasikan sebagai jumlah kelipatan
simpangan baku σs pada
jarak ini. Artinya, jarak antara S = 0 dengan μs ini dapat
dibagi menjadi beberapa simpangan baku. Semakin panjangnya, relatif
terhadapsimpangan baku, maka semakin besar indeks keandalannya. Selanjutnya,
indeks keandalanjugaberbanding
terbalik dengan koefisien variasi margin keselamatan, atau dapatdituliskanβ = 1/Vs .
Untuk
menghasilkan ekspresi yang lebih umum atas indeks keandalan, dapat digunakan
persamaan yang secara sepensitas dibahas pada bagian sebelumnya. Mengingat 
, dan 
, maka :
, dan , maka :
Dimana ρxy adalah koefisien korelasi
diantara kapasitas dan beban. Oleh karena itu,indeks keandalan adalah maksimum
jika ρxy = +1 dan minimum jika ρxy = -1. Untuk X dan Y
terdistribusi normal, maka peluang kegagalan adalah:
dan
Persamaan
diatas juga dapat digunakan untuk menghitung peluang kegagalan jika diantara X
dan Y atau keduanya mengikuti distribusi non-normal. Misalnya, jika kapasitas
dan tuntutan atau beban mengikuti distribusi lognormal, maka ln(X) dan ln(Y)
adalah terdistribusi normal, Persamaan indeks keandalan dalam kasus ini
menjadi:
2.1.6 Metode Advanced First
Order Second Moment (AFOSM)
Metode AFOSM adalah suatu metode
yang merupakan pengembangan metode MVFOSM. Metode
MVFOSM, khususnya yang menggunakan pendekatan ekspansi Taylor, memiliki
kelemahan pokok, yaitu Inkonsistensi b. Ini
disebabkan karena (1) ada ketidakpastian pada titik linierisasi yang harus
dipilih, dan (2) bila fungsi kinerja FK(X) ditulis secara berbeda (namun sevara
matematis ekuivalen) untuk mode kegagalan yang sama akan diperoleh indeks
keandalan b yang berbeda.
Untuk mengatasi persoalan ini, Hasofer dan Lind
mengajukan metode AFOSM yang dikembangkan berdasarkan interpretasi geometri
atas fungsi kinerja FK(X) yang linier. Apabila semua perubah dasar X
ditransformasikan menjadi prubah dasar baku Z (dengan mXi=0 dan sXi =1) melalui transformasi berikut:
Maka indeks keandalan b adalah jarak terdekat dari titik origin 0
ke bidang kegagalan (failure surface) FK(X) = 0. Interpretasi ini dipakai untuk
menentukan titik linierisasi untuk fungsi kinerja FK(X) nonlinier. Melalui
transformasi dengan persamaan di atas mXi dipetakan ke titik 0 dalam ruang
perubah acak baku Z.
Gambar 2.1.6 Indeks keandalan
untuk fungsi kerja nonolinier
Relasi dalam persamaan: mi = FK (Xo) + S d
FK(Xi – X0)
d Xi
Berlaku untuk indeks keandalan b menurut Hasofer dan Lind ini, apabila semua perubah dasar X terditribusi
secara normal Gaussian. Perhitungan untuk menentukan b
apabila FK(X) nonlinier harus dilakukan secara iteratif.
Apabila didefinisikan
sebuah vector normal satuan a yang tegak lurus terhadap bidang
singgung di titik A pada bidang kegagalan FK(Z) = 0, maka jarak dari titik 0 ke
A adalah ba, dan Zi= bai.
Dalam ruang umum berdimensi n, maka 
dan indeks keandalan β
adalah jarak yang ditentukan dengan menyelesaikan n+1 persamaan berikut:
dan indeks keandalan β
adalah jarak yang ditentukan dengan menyelesaikan n+1 persamaan berikut:
FK(
)=0
)=0 
Dimana k adalah resultan panjang
vektor satuan 
yang dipakai sebagai pembagi untuk memperoleh vektor satuan
arah Zi; n adalah jumlah peubah dasar . konstanta k dihitung sebagai
berikut :
yang dipakai sebagai pembagi untuk memperoleh vektor satuan
arah Zi; n adalah jumlah peubah dasar . konstanta k dihitung sebagai
berikut :
BAB III
 |
|||||||||||
 |
|||||||||||
 |
|||||||||||
 |
|||||||||||
 |
|||||||||||
 |
|||||||||||
 |
|||||||||||
Gambar 3.1 Metodologi
Pengerjaan
BAB IV
Diketahui :
Struktur rangka batang (truss)
terbuat dari mild steel, dengan :
·
b = 10 m
·
h = 10 m
·
l = 5 m
Diperkirakan rangka batang (truss) untuk mencegah Buckling kolom. Jika diketahui fungsi keselamatan sebagai berikut :
Dimana P adalah
berat tiang bujur sangkar beserta volumenya. Jika diketahui statistik variabel
dalam M sebagai berikut ini :
Keterangan
|
Rata m
|
Standard Deviasi s
|
E
|
2,1 x 103 kPa
|
210 kPa
|
I
|
8,3 x 10-6 m4
|
4,2 x 10-6 m4
|
P
|
50 kN
|
5 kN
|
Ukuran panjang, lebar dan tinggi
baja bujur sangkar tersebut adalah 10 cm.
Pembahasan Masalah dengan Metode Advanced First Order Second Moment.
Tidak ada korelasi variabel satu dengan variabel yang lain.
Mencari nilai I dari data yang diketahui terlebih dahulu dengan
rumus:
I = 1 (h3) b
12
= 1 (0,1)4
12
= 8,3
x 10-6 m4
Persamaan moda
kegagalan :
M >0,
sukses
M < 0, gagal
Normalisasi variabel :
E = mE + sE Z1
I = mI + sI Z2
P = mp + sp Z1
maka :
mE + sE Z1 = 2,1 x 103 + 210 Z1
mI + sI Z2 = 8,3 x 10-6 + 4,2 x 10-6 Z2
mp + sp Z1 = 50 + 5 Z3
Jadi,
M = 246,49 EI – P = 0
0 = (246,49 (2,1 x 103 + 210 Z1)( 8,3 x 10-6 + 4,2 x 10-6 Z2) ) – (50 + 5 Z3)
0 = (246,49 (17,43 x 10-3 + 882 x 10-6 Z1 Z2 + 8,82 x 10-3 Z2 + 1743 x 10-6 Z1))
– (50 + 5 Z3)
0 = (4,3 + 2,17 Z2 + 4,3 x 10-2 Z1 +
2,17 x 10-5 Z1
Z2) – (50 + 5 Z3)
0 = (4,30 + 2,17
α2β + 0,43 α1 β + 0,217 α1α2
β2) – (50 + 5 α3β)
0 = 4,30 + 2,17
α2β + 0,43 α1 β + 0,217 α1α2
β2 – 5 α3β
Maka diperoleh persamaan :
b = -4,3
2,17 α2
+ 0,43 α1
+ 0,217 α1α2
β – 5 α3
α1 =
- 1 (4,3 + 2,17 α2β)
k
α2 =
- 1 (2,17 + 0,217 α1β)
k
α3 =
- 1 (-5)
k
k = ((4,3 + 2,17 α2β)2
+ (2,17 + 0,217 α1β)2
+(-5)2)
Kemudian dilakukan iterasi :
Iterasi
|
ß
|
α1
|
α2
|
α3
|
k
|
0
|
0,90
|
0,50
|
0,40
|
0,30
|
5,62
|
1
|
11,38
|
-0,22
|
-0,40334
|
0,89
|
10,88
|
2
|
0,83
|
0,88
|
-0,15050
|
0,46
|
5,52
|
3
|
1,89
|
-0,03
|
-0,42178
|
0,91
|
5,60
|
4
|
0,79
|
0,23
|
-0,38540
|
0,89
|
5,47
|
5
|
0,82
|
0,04
|
-0,40389
|
0,91
|
5,46
|
6
|
0,79
|
0,05
|
-0,39871
|
0,92
|
5,46
|
7
|
0,79
|
0,05
|
-0,39911
|
0,92
|
5,46
|
8
|
0,79
|
0,05
|
-0,39892
|
0,92
|
5,46
|
9
|
0,79
|
0,05
|
-0,39893
|
0,92
|
5,46
|
Grafik Advanced First Order Second Moment (AFOSM)
Maka, indeks keandalannya : β = 0,79
Peluang keandalan : Pa = Ф(0,79)
Sehingga : Pa = 0,8
Jadi, keandalan material baja dalam bujur sangkar yang
dihitung dengan menggunakan metode AFOSM adalah sebesar 80%.
BAB
V
KESIMPULAN
Adapun kesimpulan yang dapat diambil adalah sebagai berikut:
1) Persamaan Moda Kegagalan dalam kasus ini
adalah M = 246,49 EI – P
2) Random variable adalah semua variabel
3)
Indeks keandalan material
bajadengan menggunakan metode Advanced
First Order Second Moment (AFOSM) adalah sebagai berikut :
β = 0,79
Pa(Ф(β)) = 0,8
Pg = 80%
4) Dari permasalahan di atas
bisa disimpulkan :
- Metode AFOSM sangat efisien dalam menghitung peluang kegagalan maupun kesuksesan. Karena input yang diperlukan hanya mean dan standar deviasi yang didapatkan dari survey maupun dari perhitungan data empiris. Selain itu dengan metode ini, kita tidak perlu mengetahui jenis distribusi yang memenuhi permasalahan kita.
DAFTAR PUSTAKA
Kottegoda, Nathabandu T. 1998. Statistic, Probability, and Reliability for
Civil and Environmental Engineers. United States: The Mc Graw Hill
Companies, Inc.
Nowark, Andrzej S,
2000. Reliability of Structures,
Singapore : The Mc Graw Hill Companies, Inc.
Rosyid, Daniel Mohammad. 2007. Pengantar Rekayasa Keandalan. Surabaya:
AirlanggaUniversity Press.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar